А.В. Завишев родился в 1980 году в г. Рогачеве Гомельской области.
Трудовую деятельность начал в 2004 году ведущим экономистом финансового отдела Рогачёвского райисполкома. В 2005-2006 годах занимал должность главного экономиста райфинотдела.
В 2006-2013 годах — главный контролёр-ревизор Рогачёвского отделения Главного управления Министерства финансов Республики Беларусь по Гомельской области.
С 2013 по февраль 2015 года работал начальником отдела жилищно-коммунального хозяйства Рогачёвского райисполкома.
До назначения на должность в Ветковском райисполкоме работал председателем правления Рогачёвского районного потребительского общества.
Алексей Завишев имеет высшее образование: в 2000 году окончил Минский финансово-экономический колледж, в 2004-м — Белорусский государственный экономический университет по специальности «Финансы и кредит».
Является депутатом Рогачёвского районного Совета депутатов